هندسه و تناسب در هنر سازندگان ساز
Geometry, Proportion and the art of Lutherie
مقاله ای که در حال حاضر شاهد آن هستیم مقدمه ای است از فصل Mathematical Background A کتاب با ارزش و گرانبهای Geometry Proportion and the art of Lutherie نوشته Kevin Coates که توسط انتشارات Oxford University press, New York به چاپ رسیده است.

این اثر در 9 قسمت، ریاضیات، هندسه و فلسفه وجودی آن را و همچنین شیوه مهندسی طراحی سازها، تناسبات و هنر کاربرد آن در عمل، با ذکر نمونه های مختلف تاریخی از مجموعه سازهای کهن را بازگو می سازد.

شایان ذکر است که ترجمه این کتاب بصورت کامل و جامع برای اولین بار توسط گروهی ازمترجمین انجام شده است که به ترتیب لازم مباحث بنیادی آن ارائه شده و در صورت امکان بصورت بخشهای مستقل در اختیار علاقه مندان قرار می گیرد.

"زیبایی از ارتباط و شباهت در فرم کلی ناشی می شود که در قالب آن اجزای گوناگون با یکدیگر و به نوبه خود با فرم کلی تناسب دارند.به این ترتیب ساختاری کامل و بی نقص حاصل می شود که در آن کلیه اجزا با یکدیگر هماهنگ هستند و این فرایند لازمه دستیابی به فرم مورد شما خواهد بود"

این نکته یکی از مسائلی است که Andrea Palladio با عنوانVitruvius For Master And Guide نخستین فصل از کتاب اول معماری خود،مطلب را آغاز می کند.(ونیز 1570 )

در حقیقت این نکته خاص ایده کارامد مناسبی از مفهوم تناسب که صنعتگران به آن اشاره دارند،در اختیار ما قرار می دهد،اگر چه Palladio مستقیما از این واژه استفاده نمی کند اما به وضوح بیان می دارد که در چه شرایطی وابستگی و اشتراکهای طرح ها یعنی همان تناسبات منجر به زیبایی آنها می شود.این نقطه نظر Palladio اگر چه دارای وجه اشتراک هایی با بسیاری از دست اندرکاران و نظریه پردازان مربوطه در تمام دوران محسوب می شود اما در طی سالهای اخیر افراد بسیاری به مخالفت با این ادعا پرداخته اند.

در نگارش آنچه در ادامه خواهد آمد من ضمن احترام به عقاید گروه اخیر،هرگز نخواهم پذیرفت که بتوان از این اصل بنیادین چشم پوشید که سازندگان سازهای زهی در قرون 16 و 17و 18 مانند بسیاری از همکاران خود نظیر نقاشان و معماران در طرح های خود بصورت کاملا اگاهانه از محاسبات و تناسبات عددی بهره می جستند. من تصور می کنم که علاقه مندان به ساز، همچون من،پس از مدتها توانسته اند در میان هزاران طرح و فرم ونمونه هایی ازسازهای زهی،چنین زیبایی را در آثار پالادیو یافته و به قابلیت و کمال طرح های او پی برده اند.

نظریاتی وجود دارند که تطبیق آن‌ها با این زنجیره فکری مشکل پیدا می کند،براساس این دیدگاه ؛ لوتیر در ابتدا یک صنعت‌گر بوده و صنعت‌گر نیز انسانی فانی است که به صورت نیمه‌ای هنرمند و نیمه‌ای دیگرفاعل بر کار آفریده شده و بر طبق قواعد خلقت،فاقد تفکرات و تصورات سازمان یافته در قالب فرد می‌باشد،که این فقدان با پشت‌کار فروتنانة دیگران جبران گردیده و وی را قادر می‌سازد دانش خاص خود را گسترش داده و به یک استادکار یا هنرمند مبدل گردد.

بدیهی است که چنین تفکری پرورده یک ذهن غیرفعال و البته تفکری استقرایی است که ضمن آن‌که در کمال حسن‌نیت جایگاه صنعت‌گر را به عنوان واسطة نیروهای ادارکی و حسی تصدیق می‌نماید؛ به موازات آن،وی را فاقد هر گونه درک مستقیم و عینی جلوه می دهد. آنچه واضح است این دو فرآیند متمایز دست‌کم در راستای ذهن و محصول تولید شده توسط شخص که با صنایع و هنرهای دستی سروکار دارد،در کنار یکدیگر نمی‌گنجند.

در زمینه سازهای موسیقایی، از زمان عود و چنگ موسیقی دان معروف Orpheus که اغلب تصور می شد دارای یک نیروی رقیق سحرآمیز ویژه می باشند، نوعی مقاومت یا مخالفت فعال والبته نه تنها ذهنی، به ویژه در ماهیت محافظه‌کار نوازنده، با پذیرش این واقعیت وجود دارد که یک شیء یا موضوع حساسی وابسته به عواطف و احساسات، از قبیل یک ساز می‌تواند دست‌کم وتا حدودی نتیجه یک واسطه غیرحسی و مکانیکی و قطعاً فرا انسانی، نظیر محاسبات ریاضی باشد. نکته جالب آن‌که از منظر حامیان این عقیده، مسائل جدای از این عامل ذهنی، روندی است توام با قیاس از میزان موفقیت سازنده این سازها در تطبیق دو جریان متضاد که عموماً در جهت عکس یکدیگر واقع‌اند.

این جریانات شامل، ساختار عددی و محاسباتی و دیدگاه ادارکی و حسی شخص می شوند، و البته پایان دادن به این امتزاج و تضاد، نه وظیفه صنعت بلکه رسالت هنر می‌باشد.

در سال‌های اخیر آثار قابل توجهی نگاشته شده‌ است که بر پیشینه تاریخی اصل تناسبات عددی در هنر و طراحی و به ویژه در معماری که ملموس‌ترین نمونه آن می‌باشد، صحه می‌گذارند. حتی نسبت به بهترین مطالعات در این زمینه نظیر اثر مهم «اصول معماری از Rudolf Wittkower» که حاصل تحقیقاتی قابل ملاحظه و بینش عمیقاً کارشناسانه هستند، با وجود نکات تحسین برانگیر، انتقاداتی وارد می‌باشد، از جمله پیشنهادات ضعیفی که ازسوی طرفداران این مباحث می شود، همچون موانع سنگینی در برابر جریان فکری نویسنده به شمار می‌روند. به همین جهت است که من برای فعالیت در زمینه‌ سازهای زهی و سازندگان آن‌ها تا حدودی متزلزل و نامطمئن هستم.

اگر چه اهداف من بی‌شباهت به هدف‌های مورد نظر Wittkower در زمینه ایجاد اصل تناسبات حاکم به صورت نظام مند نیستند، اما مشکلاتی در مسیر مطالعه در زمینه سازهای موسیقایی وجود دارد که دارای ماهیت مختلفی می باشند و این باعث ایجاد یک روند متفاوت در این فرآیند می شود. طیف وسیعی از مشکلات مذکور، چنان‌که قبلاً به تجربه ثابت شده است، مربوط به تصور عمومی موجود از سازندگان ساز به عنوان صنعت‌گر صِرف می‌باشد.

این نظریه‌پرداز معمار از این امتیاز برخوردار بود که در تحقیقات خود بتواند علاوه بر بناهای موجود معماران، از حجم وسیع موجود در اسناد تاریخی که توسط معماران در زمینه معماری نوشته شده و همچنین از کاربرد تناسبات عددی استفاده شده در فرمول های بکار گرفته در کارشان بهره بگیرد.

بر اساس اطلاعات من، هیچ معادل بایگانی شده، مبنی بر استفاده در فرآیندهای طراحی به وسیله سازندگان ساز، در همان دوران به دست نیامده است و به همین جهت این نظریه که طرح‌های ایشان مبتنی بر سطح پیشرفته ای از هندسه و دانش تناسبات باشد، معتبر نخواهد بود. این مسئله که چرا چنین مدرک «نوشتاری» علی‌رغم تحقیقات جامع؛ موجود نمی‌باشد، رازی است که لزوماً در بحث آتی خود به آن خواهیم پرداخت.

بنابراین، تحقیق حاضر با توجه به حالت موجود، به نوبه خود به اسناد تاریخی متفاوت اما معتبر از این دست خواهد پرداخت. این مطالعه آزمونی با اندازه‌های دقیق و طرح‌های تحلیل شده از یک مقطع تاریخی مربوط به سازهای زهی می‌باشد که امیدوارم به واسطه آن‌ها بتوان نهایتاً به یک «فرآیند طراحی دارای تناسب» در آثار سازندگان ساز در گذشته دست یافت و چه‌بسا ممکن است اصول طراحی را ارائه دهد که در حال حاضرسازندگان مدرن برای بازسازی سازهای اصیل گذشته، در جستجوی آن هستند.

در رأس تمام این نکات، دانستن این مطلب ضروری است که مکتوب حاضر، مطالعه‌ای در باب زیبایی‌شناسی تناسبات در طراحی سازهاست و مطالب مربوط به صوت و آکوستیک در آن آورده نشده است. واقعیت این است که موفقیت مطلوب صوتی و آوایی ساز بیشتر از اینکه مربوط به زیبائی ظاهری سطوح آن باشد، مبتنی بر ضخامت صحیح ( محل و جای قوس‌ها arching ها) و نیز استفاده از یک چوب مناسب است که باعث ایجاد یک صدای کامل و سالم در حجم هوا می شود. به هر حال هر کجا که تلفیق این دو مورد فوق (زیبایی و آکوستیک) دیده می‌شود، ما شاهد هنر بی‌نظیر سازندگان خواهیم بود.

یک پیش‌زمینه مربوط به ریاضیات
برای من سازهای موسیقایی، خواه از منظر یک شنونده و یا نوازنده ایی که سازهایی با اصوات اسرارآمیز را به او محول کرده اند و خواه در حد یک بیننده معمولی که دیگران سازهای بی همتای خود را به او نمایش داده اند، همواره عناصری شیوا و فصیح بوده‌است. سازها نیز مانند اسناد تاریخی، عواملی هستند که از اهمیت ویژه برخوردار بوده و نشان‌دهنده منابع و نیز ابتکارات هنری طراح مبتکر و خلاق می‌باشد که در خدمت هنر موسیقی، در خلال یک هنر زینتی و تحت تأثیر برآیندهای اجتماعی، ظهور یافته است.

به این ترتیب، این ادوات موسیقایی، بازتاب زنده‌ای از خدایان شعر، هنر و فرهنگ، سازندگان آنها و نسلی از نوازندگانی هستند که آن‌ها را نگهداری کرده و ارج نهاده‌اند چرا که از نظر آن‌ها، این سازها عناصری بوده‌اند که اندیشه‌ها، عواطف و حضور سازندگان خود را به همراه دارند.

در راستای این تحقیق، خود سازها به عنوان منبعی از اثرهای دقیق و شگفت انگیز غیرقابل چشم‌پوشی بودند که در رابطه با حقیقت موضوع توانستند برخی از اسرار‌آمیزترین جنبه‌های طراحی ظاهری خود را بر من آشکار کنند.

بنابراین من از این امتیاز برخوردار بودم که بتوانم در برخی از نظرات و عقاید سازندگان این سازها که پیش از این مفقود تلقی می شدند، سهیم شوم.

این افکار و نظرات، مانند زبانی که مربوط به سال‌های دور است، به واسطه موقعیت و عُرف اعصار مربوطه شکل گرفته است. بنابراین ما قبل ازاینکه ویژگی های هندسی و تناسبات سازهای موجود را مورد آزمایش قرار دهیم، بهتر است به دورنمای ریاضی در زمان ساخت آنها بپردازیم، در این حال ارزش این سازها بیشتر و بهتر نمایان خواهد شد.

به این منظور نخست باید به این نکته برسیم و آن را درک کنیم که، ارتباط عصر حاضر با ریاضیات با ماهیت این دانش در زمان نوازندگان و سازندگان سازهای مذکور بسیار متفاوت می‌باشد.

در حقیقت شکاف عمیق میان این دو فرآیند متضاد در کاربرد ریاضیات، برای اثبات فرضیه من در اینکه سازندگان پیشین از هندسه و طرح های تناسباتی استفاده می کردند، بزرگ‌ترین مانع محسوب می شود. به عبارتی مشکل فعلی اثبات استفاده از این قوانین در قرون گذشته برای ساخت ساز نیست بلکه خوانندگان در قرن بیستم نمی‌توانند بپذیرند که قوانین کنونی ریاضی چنین کاربردی داشته باشند.

اگر بخواهیم منصفانه قضاوت کنیم، باید بگوییم این تنها مشکل و قصور خاص دوران ما نیست چرا که هنگامی که فرد به دستاوردهای عصر گذشته می‌نگرد، مثل این است که از انتهای دیگر تلسکوپ برای رصد کردن استفاده می کند.

با توجه به برداشتی که ما از خودمان به عنوان اربابان مطلق و برتر فنون داریم و تعبیرمان از ریاضیات به عنوان ابزاری برای تکنولوژی است، به اکراه می توانیم بپذیریم که صنعتگرانی که فاقد دانش و آشنایی با ریا ضیات بوده اند بتوانند افرادی برتر و ممتازتر از ما باشند.

این نقطه‌نظر اگر چه کاملاً قابل درک است اما اندکی نیز با تعصب، غرض‌ورزی و پیش‌داوری همراه می‌باشد. اگر چه در این مرحله با یک مشکل عقیدتی مواجه هستیم، اما تنها، راه‌حل این مشکل آن است که فراتراز تعصبات ما (براساس دانش های موجود در قرن بیستم) بیاندیشیم.

ما مفهوم ریاضی را بصورت آکادمیک بدین عنوان فرا گرفته ایم که قوانین ریاضی به منزله یک کیف بی‌جان پر از ابزار و فنون است که مورد استفاده مهندسین و حسابدارها قرار می گیرد، اگر بتوانیم این مفهوم را از بین ببریم، و به این قوانین به چشم یک راز سر به مهر برای اصلاح فرهنگ مردمی نگاه کنیم، دست‌کم توانسته‌ایم فضای روشن‌فکرانه‌ای را در برابر معضل درک تصورات ریاضی دوران قبل ایجاد نماییم.

در دوران رنسانس، ریاضیات یک زبان جهانی بود که ایده‌های کلی آن را به صورت خلاصه بیان می‌کرد.

چکیده این اطلاعات هنوز در فرهنگ مدرن در قالب ساختارهای فکری و رفتاری وجود دارند، ضمن‌ آن‌که ما وارث تجلی منسجم این عقاید به صورت مصنوعاتی نظیر سازهای مورد بحث، نیز می‌باشیم و از آنجا که همه چیز با زبان ریاضیات به هم مربوط می‌شوند، برای درک هر یک از اجزای فوق و یا کلیت آن‌ها، دانستن این زبان و فرهنگ تابع آن ضروری است.

به واسطه تغییر و دگرگونی جامعه بشری ظرف 500 سال گذشته، نقش و وظیفه ریاضیات نیز به جهت پاسخگویی به نیازهای بشری دست‌خوش تغییرات بسیاری گردیده است. نیازهای مذکور هم‌اکنون مرتفع شده‌اند اما در عوض زندگی آتی بشر مورد تهدید افزایش تقاضا به واسطه نقصان دائم منابع و امکانات فیزیکی می‌باشد. به نظر می‌رسد خود انسان به عنوان یک منبع فوق تکنولوژی، تنها روزنه امید برای پیشی‌ گرفتن در این دوره متزلزل است.

در مسیر این تکنولوژی (شاید به عنوان ناجی)، یک بار دیگر قوانین متنوع ریاضی به صورت یک زبان ایفای نقش خواهد کرد، اما این بار به عنوان یک زبان کمّیتی و یک مقیاس وحشتناکی از محدودیت، عمل می کند که به علل آنچه باقی مانده است، می پردازد و از فراوانی سخن نمی‌گوید.

انسان عصر رنسانس، اگر چه مشتاقانه به سمت تکنولوژی برتر گام برمی‌داشت، اما از این امتیاز برخوردار بود که این مسیر را آزادانه می‌ پیماید، چرا که از مسئولیت‌ها و عواقب وخیم و حتی ترسناک این تکنولوژی آگاه نبود. اگر چه روح ریاضیات با تکنولوژی در یک کالبد نمی‌گنجید اما این دو با تناسب و هارمونی بر هم تأثیر گذاشته و امور بشری را نظم می‌بخشیدند.

طبق نظریات فیثاغورث و افلاطون جهان در جهت یک هارمونی آسمانی تنظیم شده که از طریق شعور قدسی و ادراک الهی ریاضیات قابل درک است. افلاطونیون جدید، پا را از این نیز فراتر نهاده و در قرن 16 اظهار داشتند که جهان و پدیده‌های آن به واسطه ریسمان سحرآمیز اعداد، برانگیخته و یکپارچه می‌شوند. علوم چهارگانه کهن نیز حکمتی بود که از چنین عقیده‌ای ریشه می‌گرفت، مواردی چون – حساب، هندسه، موسیقی و هیئت – به نظم مکرر اعداد در وجوه گوناگون آن‌ها قطعیت می‌بخشید، به این مفهوم که به صورت مشخص و واضح، به اعداد ثابت، مقادیر متغیر و اعداد کاربردی می‌پرداخت.

به این ترتیب، مطالعه دانش ریاضیات، به واسطه حقیقت جهانی نهفته در آن، نوعی صمیمیت را القا می‌کرد و کاربرد آن نیز فعالیتی بود در جهت عمل به این عقیده که امور در جهت اصل عمومیت، کنترل و منظم می‌شوند. این مطلب توضیح مختصری از یک زبان کیفی بود. این دوره تکاملی، ارتباط ما را با حقیقت تغییر ناپذیر اعداد، از «ابزار تجلی و بیان» در هنر و زندگی عصر رنسانس به نقش برجسته امروزی آن به عنوان «تجلی ابزار» تغییر داده است.

در این مرحله توجه به این مطلب که چگونه چنین عقاید و اندیشه‌های موثر در ریاضیات توانستند در تاریخ فرهنگی ما تأثیرگذار باشند، مفید واقع خواهد شد. راهنمای من در این رابطه اثر مهیج پروفسور Morris Kline تحت عنوان «ریاضیات در فرهنگ غرب» بوده است که آن را به تمام افرادی که پیگیر این موضوع جالب هستند نیز توصیه می‌کنم.

تاریخچه‌ای کوتاه از هندسه
Herodotus، پدر تاریخ باستان، داستانی را درباره زایش هندسه و ارتباط آن با طغیان فصلی رود نیل، نقل می‌کند. به دنبال تقسیم اراضی میان مردم توسط شاه Sesostris در قرن 14، باید شیوه‌ای برای محاسبه میزان زمین‌هایی که به علت طغیان نیل دچار خسارت می‌شدند در نظر گرفته می‌شد تا برحسب آن مالیات صاحبان این اراضی به تناسب مشخص گردد. این روند به یک سیستم مدون برای اندازه‌ گیری زمین‌ها منجر شد و در آن geo به معنی زمین و metron به مفهوم اندازه بود، در نتیجه geometry یا هندسه را می‌توان «هدیه نیل» دانست.

اگر چه این تمثیل برای ریشه‌یابی موضوع مورد نظر قدری افسانه‌ای به نظر می‌رسد، اما در نفس این حکایت هرودوتوس، حقایقی نیز نهفته است، چرا که باور عمومی بر آن است که نخستین گام برای گسترش و توسعه عددی و هندسی در تمدن خاور نزدیک در کشورهای مصر و بابل به وجود آمده، در نتیجه تصور می‌شود در مسیر پیشرفت علوم و هندسه نیز باید همین افراد گام بعدی را برداشته باشند تا بر طبق توصیفات هرودوتوس، این نیاز کاربردی مورد قبول واقع گردد.

به هر حال نیل و فرهنگ‌های مربوط به آن، منابع مطالعات خاص ما را فراهم نمی‌آورند، بلکه منبع اصلی مورد نظر ما به یونان باستان، فیثاغورث و پیروان مکتب وی برمی‌گردد که به واسطه روندهای فلسفی خود، توانستند اصول ریاضی را که از مصری‌ها و بابلی‌ها به ارث برده بودند را دگرگون سازند.

به گفته ارسطو، پیروان مکتب فیثاغورث «خود را وقف مطالعه ریاضیات کرده و نخستین گام را برای علوم جدید برداشتند.» برطبق این اظهارنظر، این گروه از ایجاد یک حالت مستقل و خاص به یک موضوع،احساس افتخار می کنند. فیثاغورث برای تعیین ماهیت و فلسفه ریاضیات یونان تلاش بسیار کرد و علم حساب و هندسه را در سطح علوم هفت گانه ارتقاء داد تا جایی که نتایج ادراکی و عقلانی، از هر گونه منعفت پذیری مادی یا تجاری، منفک شدند.

هدف ما در اینجا، قضیه مشهور فیثاغورث درباره منصف وتر مثلث قائم‌الزاویه و یا کشف غیرمنطقی بودن جذر یا ریشه توان دوم، نیست بلکه آنچه برای ما حایز اهمیت است، تناسب و هماهنگی میان موسیقی و علم حساب می‌باشد. فیثاغورث به این نکته پی‌برد که هماهنگی موسیقی – فاصله های موسیقی اصلی یعنی فاصله های اکتاو، پنجم و چهارم– توسط سیم‌هایی با ضخامت و کشش یکسان ایجاد می‌شوند که تنها طول آن‌ها بر طبق تناسبات ساده مربوط به علم حساب، متفاوت خواهد بود.

به این ترتیب، سیم‌ها با نسبت یک دوم، فاصله هشتم یا دیاپازون (diapason)، نسبت دو سوم، فاصله پنجم یا Sesquialtera و نسبت سه چهارم، فاصله چهارم یا Sesquitertia را ایجاد می‌کنند. این قواعد، برای سیم‌هائی که دارای طول یکسان هستند و میزان کشش آن‌ها دارای تناسب‌ هارمونیک است و نیز برای جرم سطوح مرتعش شونده اعم از سیم‌ها، سندان‌ها، ناقوس‌ها، لیوان‌های آب، و یا طول لوله‌های صوتی، صادق می‌باشند.

این تنوع و تفاوت در نمونه‌ها، در حکاکی‌ هنرمندانه Gafurio`s Theorica Musice که در سال 1492 بر روی چوب انجام شده، به چشم می خورد و شما می توانید آن را در تصویر شماره 1 ملاحظه کنید. اصولاً این کشف از آن جهت برای ما حائز اهمیت است که ضرورت داشتن فلسفه برای اعداد را نشان می دهد که سنگ بنای بنیادین عقاید یونان و الهام‌بخش متفکران رنسانس بوده است.

بنابر عقیده پیروان مکتب فیثاغورث، اعداد، عناصر اصلی طبیعت و اساس همه چیز بودند، تمام افلاک یک مقیاس موسیقی داشتند که در آن همه چیز با یک هارمونی الهی در جریان است و «موسیقی گردون» را ایجاد می‌کردند. تصویر مقابل، آخرین درک گرافیکی این نقطه نظر را نشان می‌دهد که توسط Robert Fludd در سال 1637–1547 در Utriusque Cosmi Historia ترسیم شده است.

یکی از پیروان مشهور فیثاغورث به نام Philolaos به همراه استاد خود در تصویر مطلب قبل نشان داده شده که در حال آزمایش فلوت‌هایی هستند که دارای نسبت های مختلف می باشند، چکیده‌ای از عقاید آن‌ها در باب کلیت و جامعیت اعداد به این شرح است: اگر به واسطه وجود اعداد و ماهیت آن‌ها نبود؛ موجودیت هیچ چیز به خودی خود یا در رابطه با سایر اشیا، برای هیچ کس به وضوح مشخص نمی شد.

می‌توانید قدرت و نیروی کاربرد اعداد را نه تنها در امور مربوط به نیرو های ماوراءالطبیعه، بلکه در تمام کارها و افکار بشری در کلیه هنرهای دستی و موسیقی مشاهده نمایید.

یکی دیگر از اکتشافات فیثاغورث که برای ما دارای اهمیت است، تئوری تناسب است که دربرگیرنده سه مفهوم، حساب، هندسه و هارمونیک می‌باشد. اگرچه تئوری تناسبات فیثاغورث برای مقادیر و حجم‌های متناقض کاربرد نداشته و آن‌ها را توجیه نمی‌کند (منظور مقادیری است که به صورت منطقی با اعداد قابل توجیه و تفسیر نیستند) ولی درعین حال، چنان‌که شاهد بوده‌ایم، پیروان فیثاغورث وجود آن‌ها را تصدیق کرده اند، بنابراین تصور می‌شود که آنها این پدیده‌ها را به عنوان «ضد اعداد» در نظر می گرفتند که به یک بی نظمی و هرج و مرج بدوی و غیر قابل درک تعلق داشتند و به لحاظ ریاضی آن‌ها را «خارج از قلمرو» و شامل مفهوم مهیب بی‌کرانگی و لایتناهی بودن قلمداد می‌کردند.

وارث مسلم ریاضیات فیثاغورثیان، افلاطون بود که اگر چه در نزد ما بیش‌تر به لحاظ نوشته‌های فلسفی‌اش اهمیت دارد، اما پایه‌گذار آکادمی مشهوری نیز بوده که به جهت اعتبار در زمینه ریاضیات توانسته میان فیثاغورث و هندسه‌دانان پس از وی از دانشگاه Alexandria و نیز دانشمندان عصر رنسانس یک حلقه ارتباطی برقرار کند. چنان‌که می‌دانیم شعار مشهور این آکادمی از این قرار بوده، «کسی که چیزی از ریاضیات نمی‌داند اجازه ورود به این مکان را ندارد.» که این اصل بعدها توسط Copernicus (در چرخش کرات آسمانی – 1543) و Leonardo-Trattato della pittura در پیش‌گفتار کتاب مذکور تأیید و منتشر گردید. می‌توان گفت افلاطون در راستای عقاید ریاضی خود بیشتر از فیثاغورث به مکتب فیثاغورثی پای بند بوده، چرا که در عقاید افلاطونی، نیروی برتر هوش بشری برای این اعتقاد راسخ که طبیعت دقیقاً بر طبق تناسبات ریاضی تنظیم شده، اهمیت بیشتری قائل بود.

این تفکر، افلاطون را به جستجوی طبیعت فراتر از درک و شهود، طبیعت ایده‌آل، حقیقتِ واقعیت و «واقعی‌ترین موجودیت» رهنمون کرد. در حالی که فیثاغورث با اعداد کشف شده در هارمونی موسیقی سروکار داشت، افلاطون با اعتقاد به این نکته که دانش باید از احساسات مجزا شود، در خلال یک «سلسله روابط علت و معلول»، به جستجوی هارمونی‌های اعداد و هارمونی‌های شنیداری که تنها از طریق ذهن قابل درک‌اند پرداخت.

طبق نظر افلاطون، تمام چیزهای این جهان کپی‌های فانی و ناتمامی از قالب‌هایی هستند که در جایی وجود خارجی دارند؛ و این قالب‌ها حقیقی و تنها اهداف علوم می‌باشند، اما تنها از طریق شهود و تأمل مستقیم و بی‌واسطه ذهنی و عقلانی قابل درک هستند و تا حد امکان از هر گونه نقص های مغشوش کننده در جهان فیزیکی، مجزا و مستقل می‌باشند.

بدون شک، در جریان اصلی مورد بحث ما مهمترین کاری که افلاطون انجام داده تحقیق وی تحت عنوان Timaeus می‌باشد که یکی از دو اثر مکتوب بسیار مهم عصر باستان نیز است، کتابی که به زبان لاتین، در قرون وسطی یعنی زمانی که مسیحیان خالق آن را، به آفریدگار تکوین تشبیه می‌کردند، در اختیار افکار اروپائیان قرار داشت.

Timaeus یک تجسم رسمی از کیهان‌شناسی عددیِ فیثاغورث - افلاطون است، یعنی همان ماهیتی که در بالا به صورت اجمالی به آن اشاره کردیم. در تشریحِ عناصر و ساختار «روح هستی»، افلاطون اجزای سازنده آن را بر طبق هارمونی اعداد 1، 2، 3، 4، 9، 8 و 27 توضیح می‌دهد که مجموعه‌ای هستند از مجذورها و توان‌های سوم از نسبت‌های دو و سه تایی، که از عدد 1 آغاز شده و به صورت دو تصاعد هندسی 8، 4، 2، 1 و 27، 9، 3،1 می باشد.



این اعداد که اغلب در آرایش Lambda دیده می شوند (تصویر مقابل)، به همان میزان که در هارمونی الهی نقش دارند در کلیه نسبت‌های موسیقی موجود نیز ایجاد هماهنگی می‌کنند. اعداد طرح های دوبعدی و اجسام سه بعدی، مجذورهای 4 و 9 و نیز توان‌های سوم 8 و 27 می باشند.

افلاطون بیشتر از این در یک تئوری اتومیک اسرارآمیز توانست ثابت کند که اصول هندسی چطور می توانند در جاودانگی عالم وجود کاربرد داشته باشند. در این تئوری 5 عنصر وجود دارد که به صورت حجمهای واقعی هستند که هر کدام از آنها برای بدست آوردن شکل شان ذره ای از آن عنصر را می گیرند. پنجمین حجم افلاطون dodecahedron است که لزوماً از 2 نوع مثلث اصلی افلاطون ساخته نشده است که در این عالم وجود، برای آراستن صورت آسمانی در کل فلک مورد استفاده قرار می گرفته است. تصاویر این عناصر واقعی در تصویر مقابل آورده شده است.



کتاب مهم دیگر یونان باستان که به تحقیق ما مربوط بوده و نیز بیشترین تأثیر در شکل‌دهی فرهنگ ما را داشته، کتاب مشهور «اصول اقلیدسی» Elements of Euclid می‌باشد. در این شاهکار یکپارچه سازی علم ریاضی یونان دیده می شد که رساله‌ای معتبر در زمینه هندسه برای 2000 سال متمادی به شمار می رفت و چنان منسجم و منطقی جمع‌آوری و ارایه شد که به جهت دسته بندی منظم و معقول مندرجات موجود در آن، بیش‌ترین تأثیرگذاری را در پیشرفت فرهنگ گذاشت.

در حقیقت، این رساله شامل سیزده کتاب است، که 6 فصل نخست و 3 فصل پایانی آن به هندسه اختصاص دارد (سطوح و احجام)، فصل های 7، 8 و 9 مربوط به علم حساب و فصل 10 نیز در باب اعداد گنگ می‌باشد. عنوان این کتاب یعنی کلمه «اصول»، برطبق یک تفسیر باستانی به معنای «ابتدای ابتدا» به کار رفته است، که در آن اقلیدس تعاریف و قواعد کلی را بیان کرده و خواص و ویژگیهای نقاط، خطوط، سطوح و اشکال را شرح می دهد و آنها را طوری تنظیم و تهیه کرده که به عنوان حقایق غیرقابل بحث و کاملاً مستدل مورد پذیرش می باشند و موضوعات و قضایای حاصل از آن‌ها، نیز به طور منطقی کل ساختار سیستم هندسه را شکل می‌دهند.

در بخش پنجم این مجموعه تئوری تناسب هم به صورت متناسب وهم به صورت متناقض توضیح داده شده که به یکی از اساتید ریاضی و نجوم به نام Eudoxus of Cnidus منسوب است. وی در این بخش چندین قضیه در باب مقطع طلایی یک خط را نیز شرح داده است. موفقیت و اعتبار این «اصول» از سه جهت بود:
نخست آن‌که این کتاب اطلاعات هندسی یونان باستان را در یک قالب منسجم و قابل دسترسی ارایه می کرد، این اطلاعات هندسی بخش عمده دانشی بود که فلسفه و تعلیمات روشن‌فکرانه، به صورت مجزا، سعی داشتند به دانش آموزان و دانشجویان این رشته کاربرد آن را به اثبات برسانند.
دوم، این مکتوب به کمک شواهد غیرقابل انکار، به تثبیت و تشریح نیروی برتر منطق بشری و قابلیت آن برای استنباط و قاعده ‌گذاری بر طبق قوانین سیستماتیک استدلالی می‌پرداخت.
سوم این‌که «اصول» به واسطه ادعای جامع خود به عنوان یک نمونه اصیل و عالی از منطق، سطح مطالعات ریاضی را از حالت صرفاً کاربردی آن به علوم زیبایی‌شناسی ارتقاء داد.

اقلیدس در آتن تحت تعالیم شاگردان افلاطون بود، اما پس از فتح مصر توسط اسکندر و نام‌گذاری و ایجاد شهر اسکندریه، وی در شمار بنیان‌گذاران «موزه» بزرگ و کتابخانه‌ای قرار گرفت که تحت تأثیر قوانین روشن فکرانه فرهنگی بطلمیوس اول در این شهر بنا شده بود. بطلمیوس به کمک جاذبه ابتدائی Diaghilev (که بعدها با انگیزه‌های مالی حمایت شد) برترین افکار و استعدادهای دنیای کهن را حول یک قطب ذهنی و فکری نوین گردآورد که مباحث آن از عربستان، یونان، آسیا، اروپا و آفریقا نشأت می‌گرفتند.

اسکندریه، در راستای یک حرکت واقعی در زمینه فرهنگ nombril du monde، در حد یکی از نخستین جوامع بین‌المللی ارتقاء یافت که نه تنها یک مرکز صرفاً یونانی به حساب می آمد بلکه مرکزی برای Semitism سامی ها نیز محسوب شد.

مردمان این شهر که از نژادهای گوناگون بودند، به صورت منحصر به ‌فرد و آزادانه به آمیزش و تبادل فرهنگی و تجاری پرداختند. این حجم وسیع از مبادلات باعث ایجاد مطالبات جغرافیایی، دریانوردی و مهندسی قابل استفاده در زمینه هنر مهجور و خلاصه شده ریاضیات پیشین شد.

در همین راستا، ریاضیات یونانی Hellenistic به صورت یک زمینه مطالعاتی متفاوت از فلسفه معنوی دور از ذهن که مربوط به محققین کلاسیک بود، درآمده و در عوض به واسطه اندازه‌گیری‌ها، مقیاس، نقشه‌برداری و ساخت و سازها در برگیرنده جنبه‌های کاربردی شد.

دانش ریاضیات، به طور اخص، در فضایی شروع به رشد و تکامل کرد که حریصانه مشتاق حیرت و شگفتی بود. ساعت‌ها و وسایل آبی، پمپ‌ها و کلیه ابزار و ادواتی که به وسیله آب و باد فعالیت می‌کردند، در حکم ماشین‌های خودکار نیرومندی بودند که منجر به رشد و پیشرفت دانش و نیز بسط و توسعه اقتصاد در حدی خیره‌کننده شدند. ریاضیات برای مردم اسکندریه به منزله یک خادم قدرتمند و البته فرمانبردار بود و ضمناً یکی از بزرگ‌ترین اساتید آن مردی بود که خرد، هوش و سرنوشت وی، مایه مباهات مردم آن عصر گردید. این مرد کسی جز ارشمیدس (Archimedes) نبود.

وی در Syracuse در سیسیل متولد شد اما تحصیلات خود را در اسکندریه گذراند و سرانجام به زادگاه خود برگشت. اگر چه مهم‌ترین فعالیت وی در زمینه هندسه بود اما مطالعات اقلیدس را تداوم بخشید و مقدار عدد N را تعیین کرد و روابط نسبی میان استوانه و محیط آن را کشف نمود، علاوه بر این تحقیقاتی نیز در رابطه با مخروط‌ها، کره‌ها، مارپیچ‌ها به عمل آورد، اما در عین حال شهرت کنونی وی نه به ریاضیات مربوط می‌شود و نه به اصل مشهور موازنه آب که نامش را به همراه دارد، بلکه او شهرت خود را مدیون شیوه‌های مکانیکی خلاقانه‌ای است که قوه ابتکار عمومی را برانگیخت.

اختراعات و تمهیداتی که ذهن عالی یونانی او، آن‌ها را مانند چیزهای ناچیز و ارزش های جزئی موجود در کارهای ذهنی خردمندانه نادیده انگاشت. در میان این اختراعات، ابزار و ادوات جنگی نیز وجود داشتند که برای دفاع از Syracuse در برابر پیشروی رومی‌ها ساخته شده بود.

یکی از ادوات یک آینه مقعر بسیار بزرگ بود که برای سوزاندن کشتی‌های رومی استفاده می شد. ارشمیدس، چنان‌که منقول است، هنگامی که غرق تفکر در یک شکل ریاضی بود، با ضربه شمشیر یک سرباز رومی کشته شد. این حادثه اسفناک از سرنوشتی حکایت دارد که باحضور رومی‌ها و جهالت و خوی وحشیانه آن‌ها، یونان در انتظار روح دانش و کمال بود.

یکی دیگر از فتوحات رومیان در حوزه مدیترانه، شامل خود شهر اسکندریه می‌شد. پس از این فتح، سزار (Caesar) ناوگان مصری را که در بندرگاه لنگر انداخته بودند به آتش کشید، آتش به طرز فجیعی از دریا به داخل شهر گسترش یافت و کتابخانه بزرگ شهر نیز دچار حریق شد و در این آتش سوزی بیشترین بخش اسناد و اوراق معتبر و ارزشمند بایگانی شده موجود در دنیا از بین رفت.

تسلط رومیان، آزار و شکنجه و خفقان را برای مردم به دنبال داشت و مردم به ناچار چشم امید به مکتب نوظهوری از مسیحیت داشتند که در واقع این فرقه، نوعی تسلیم عاجزانه به مذهبِ صِرف بود و دانش صریح فرهنگ یونان را به عنوان نماد شرک و کفر، تکذیب و انکار می‌کرد. دانشمندان و محققین موزه اسکندریه به ناچار از شهر گریختند و بذرهای نهفته دانش در فرهنگ درخشان یونان به واسطه آن‌ها پراکنده شد و آنچه نیز از این موزه برجای ماند، در جریان تاخت و تاز اقوام دیگر در سال 640 به طرز سنگ‌دلانه‌ای به آتش کشیده شد. گفته می‌شود کتب و دست نوشته‌های باقی‌مانده در موزه، به مدت 6 ماه، سوخت کوره حمام‌های عمومی برای ایجاد بخار و آب داغ بودند!

پیش از آن‌که تاریخچه مختصر ریاضیات را در فضای متروک قرون وسطی پی بگیریم، باید به معرفی یک رومی استثنائی به نام Marcus Vitruvius Pollio بپردازیم وی یک معمار بود که برای امپراطور Augustus کار می‌کرد. او مجموعه منسجم نادر و اعجاب‌انگیزی از تئوری یونانی را عمیقاً مورد توجه قرار داد که این مجموعه ده کتاب در باب معماری De Architectura Libri Decem است. Vitruvius از این اثر، در کنار فرآیندهای کاربردی رومی خود، شامل هر آنچه که امپراطور روم مایل به آگاهی از آن‌ها بود، اعم از مهندسی و معماری استفاده کرده است.



در حقیقت، بیشترین خوانندگان آثار Vitruvius در امپراطوری روم مربوط به دوران خودش نبودند بلکه در ایتالیای دوران رنسانس به سر می‌بردند چرا که در این دوران اثر وی برای نظریه‌پردازان معماری و نیز برای معماران حکم کتاب مقدس یا Locus Classicus را داشت.

وی فهرستی از برخی علوم مهم مورد نیاز برای معماران، اعم از داشتن دانش تاریخی، فلسفه، طب و نجوم را فراهم آورد. به نظر می‌رسد وی در زمینه علوم هندسی نیز مطالبی را فرا گرفته و درک موسیقایی نیز داشته است.

آشنایی او با موسیقی نه تنها در عبارتهای به سبک نثر بلکه در رابطه با آکوستیک یک سالن تئاتر خوانندگان رومی مشهود است، همچنین به صورت قابل قبول تر می توان ذوق او را در اشعاری که در زمینه تنظیم دقیق کشش سیم های منجنیق یا سنگ اندازهای جنگی سروده مشاهده نمود.

به این ترتیب Vitruvius توانست شنوندگان بیشتری را برای طرح مبحث اخیر پیدا کند بنابراین به بیان مفاهیمی پرداخت که تأثیرات عمیق و وسیعی داشتند.

بیش‌تر این مباحث از ایده‌ هایی نشأت می گرفت که ریشه یونانی داشتند که بر این پایه استوار بود که بدن انسان، خود، مخزن مهم‌ترین قوانین تناسب موجود می‌باشد.



تصویر B
وی قبل از اینکه این تناسبات را که به صورت متقارن گسترش می یابند و نسبت‌های متناسب ساده هستند را از یک مجرای کاملاً علمی شرح دهد، بدین صورت ثبت می‌کند که چگونه فردی که دست و پای خود را به اطراف باز کرده می‌تواند هم یک دایره و هم یک مربع را به تصویر کشد. (حقیقتاً، انسان از این دو شکل کامل اولیه متولد می شود به نحوی که مراکز این دو تصویر در مجاورت یکدیگر در محل فرورفتگی ناف شخص، یعنی نقطه تولدش، قرار دارد.) در حقیقت طرح های فلسفی و بسیاری از طرح‌های ترسیم شده، به واسطه هنر و ذهن هنرمندان دوران رنسانس پدید آمده اند؛ دو نمونه از زیباترین این طرح‌ها که امروزه تصاویر کاملاً آشنایی هستند در اینجا نیز آورده شده، که یکی از آن‌ها یعنی تصویر a اثر لئوناردو داوینچی و دیگری نیز اثر نظریه‌پرداز مطرح در زمینه معماری Francesco di Giorgio را می توانید در تصویر b ملاحظه کنید.

تنها یک نسبت گنگ و غیرمعقول که توسط Vitruvius مطرح و استفاده شده، قطر مربع است (تصویر c) که غیرعقلانی بودن آن، نویسندگان پیشین یونان را تکان داده است!



تصویر C
فرآیند آموزشی Vitruvius شامل اصول بنیادین معماری است که وی آن‌ها را در قالب واژگانی بیان کرده که بیان کامل مفهوم دقیق و یا ترجمه صحیح آن‌ها برای ما کمی دشوار است، این واژگان شامل: distributio ،decor ،Symmetria ،eurythmia ،dispositio ،ordinatio؛ به معنای: نظم، ترتیب، هارمونی، تقارن، تناسب و اقتصاد می باشند.

از آنجائیکه بسیاری از این مفاهیم در زمینه تناسبات زیبائی موجود در طرح، کاملاً بدیهی هستند، در نتیجه با کلیه هنرها ارتباطی تنگاتنگ داشته و بیش از همه نیز هنر معماری را انتظام بخشیدند.

منبع